今天是中研院院区开放日，欢迎大家来到我们数学所。
数学是人类文明一个重要的科目。美国进大学必须考 SAT，主要的两个科目是数学跟语文。数学的重要大家都不会怀疑，大家都承认数学重要。但对我来说，数学真是难，相信大部分的人都觉得数学难。有时坐出租车，司机问我是做什么的，我说是念数学的，他多半回答：数学很难。今天我要说的是：大家都知道数学难，但有真的深刻地体会到数学的难吗?
我对数学有兴趣的时候，是开始数一二三。我小时候，有一次邻居去参加学校的家长会，回来说：我那已经念小学的四哥不会从一数到一百。我母亲觉得很奇怪。因为虽然我母亲不识字，但她觉得数学很简单，一点都不难。这事却不能怪我四哥 （他后来上台大机械系），因为乡下地方没人教过他数字，于是我母亲放下宝贵的农作时间，来教我哥哥从一数到一百。我坐在旁边就跟着学，觉得有趣：从一开始到十一，然后就到二十一，再到三十一，一直有相似的地方，然后再做变化。于是，我从一数到九十九，然后也可以从九十九数到一，之后我就可以一直数到一千，觉得很有意思。有一天我母亲和邻居聊天说:“ 我们家太平可以读数学。” 所以我这样决定读数学了。数学的难，我第一次感觉到，是小学二年级的时候。那时候开始学乘法，要背九九表。我觉得很难，因为乘法的概念很不明显。例如：5×6=5+5+5+5+5+5 是 5 加了 6 次【编者注：也有可能采取另外的定义，即，6加了5次】。虽然乘法是加法的延伸，但事实上它是一个思想上的突破。
图一
伟大的音乐家贝多芬因为不会乘法，在他的乐谱上写满加法来算钱。乘法是一个伟大的发明。乘法有一个有趣的性质，我们来看图一的对角线，2×2=4，3×3=9，4×4=16，一直下去。然后上下成对称，2×7=7×2，4×6=6×4 等等，有一个完全的对称关系。我在背九九表时一直在想着：为什么它会成对称呢? 我一个一个检查， 3×2=2×3，一直到全部检查完。因此耽误了背九九乘法表，放学时还被老师留下来，背完才可以回家。我发现，很多人觉得 3×7=7×3 是一件很自然的事情，而很快就接受了；但我觉得一点都不自然，3×7=7×3 是说乘法有交换性，就是 A×B=B×A，交换性是数学上的大事情。102×204=204×102 用加要算很久，何况还有上千和上万的数目，所以说交换性是一件很奇妙的事情。人们就对它习以为常成习惯，但是习惯是一件不好的事情。不过这个习惯不会维持很久; 到了高中就碰到不同的事了，我所指的的是矩阵的乘法【注：台湾高中讲矩阵】。例如，如图二示， 矩阵是一个空间的移动， 矩阵是空间的一个转动，我们来看 等不等于 。如图三，我们知道： 是先转动再移动， 是先移动再转动，我们清楚的看到 不会等于 。如果我们直接做矩阵的计算，如图四，我们也可以得到 不会等于 。我学数学好不容易才接受 ，但是呢，现在又被教说 ，这对我来说是一件震惊的事情。其实事情有交换的时候，也会有不交换的时候。日常生活上我们常有不交换的时候，例如先买菜再接小孩或先接小孩再买菜【再如先穿袜子后穿鞋与先穿鞋后穿袜子】是不一样的事情，不可随便交换。或在量子力学上 ， 可以各代表一种测量，如果 AB=BA 那么这两种测量可同时测量不会互相干扰; 如果 就代表两种测量会互相干扰，不可同时测量。在这里，数学的理论对物理上有深远的影响。我们再回来看为什么 3×7=7×3? 对我来说，这是那么的困难，如图五。我把上面两个三加上下面的一个凑成一个七，那第二个七就较难凑成，所以我一个下午都在做这件事情。其实老师有教过怎样凑，但是我没听到。后来我知道所有三的第一个就凑成一个七，第二个就凑成第二个七，这样就简单多了【横看成岭侧成峰，正如我们在一个教室点名，可以一排一排点名，也可以一列一列点名——这在微积分中对应于计算双重积分的Fubini定理】。这就是数学的一个重组过程，重组是数学上一个重要的过程。接下来我想举一个例子来说明重组的妙用。我们知道，在古希腊 Euclid 证明过有无穷多个质数。今天不说他的证明，我要讲的是大约 Euclid 之后两千年大数学家 Euler 的另一个证明，这中间没有其他人对质数无穷有其他证明。首先我们先讲一些代数，我们知道我们再回来看质数 2，3，5，7，11，13，17，…，Euler 对数论做了一个基本的工作，他看下面的乘式上面的第二个等号是一个初等、 自然，却是伟大的发现，Euler 把质数非常不规则的东西重组成非常规则的东西，然后我们把最后的式子做重组然后我们知道，不等式的右边是无穷大，所以左边也无穷大，因此证明了有无穷多的质数。重组的功夫在数学上有非常广泛的应用。底下我想举一个小学四年级的例子。我小学四年级的时候大概有一个月没上课，我母亲怕我的功课落后，所以跟邻居借了几本课本，让我自己看。我大概花一个月看了一年的教材，因为看的太快，其中有关分数的部分我始终觉得怪怪的。我看书上说 是因为， 就是把一块大饼分成三等分的其中两份， 是把同样一块饼分成六份的其中四份，所以他们相等。可是我一直觉得很奇怪，两块饼如果不一样大，那 怎么等于 ？这个问题是不能问老师的，否则老师会以为你故意捣蛋。好多年下来我才终于知道，分数不是大小的问题，而是比例的问题，是饼有的颜色部份比上没颜色部份，无关饼的大小，如图六。世间没有绝对的大小，我举庄子的话：“天下莫大于秋毫之末，而大山为小”。这里大山就是泰山，因为他看到最大的山就是泰山。所以没有什么绝对，只有比较而已。庄子在这重要的哲学题目得到突破，可惜我们东方后来并没有继续以数学来发展。我举一个物理实验的例子来说明大小一事。有两个飞机翅膀，一个大一个小，大的长度是小的三倍，如图七:我们在实验的时候不可能把一台波音 747 放进风洞实验室，所以我们造一个小的翅膀来做实验。做实验时风速必须是大的三倍，它附近的气流才会跟大的相似，这是流体力学重要的雷若常数，这是一种比例关系。当然，不是所有的比例关系都是三倍跟三分之一，比如我们高中学的拋物线 ， 增加三倍 增加九倍；双曲线 ， 增加三倍 增加三倍 。各种比例问题在自然界、物理界有不同的应用，例如光的传递和热的传导，数学能用不同比例法则描述出来。接下来我所举的例子是小学六年级的例子，时钟问题：分针和时针在两点三点之间何时重合? 我那时觉得这是一个困难的问题。先不说为什么我觉得困难，我们先看书本怎样算的。两点时，分针在时针之后 10 分，而时针的速度是每分 1/12 分。我们把它想成分针与时针在赛跑，一个在后一个在前，一个快一个慢，速度差 11/12 分（每分钟），所以要花 分钟才能赶上，因此分针时针在 2 点 10 又 10/11 分重叠。问题的解决是把时钟问题想成赛跑问题，这是一种模拟。模拟就是把表相不相同，但本质是相同的问题连想在一起。模拟在数学上非常的重要，有时候做纯数学就是为了做模拟。我们再来看看几个类比的问题，水波、 音波、 光波、 车流是模拟的问题; 热传导、 污水扩散、 生物蔓延也是模拟问题，在数学上都是同一个问题。所以，把时钟问题想成赛跑问题是一个重大的突破。两点十分的时候分针到了 10 分，但时针不等分针，自己走了 10/12 分，所以不重叠，两点又 10 又 10/12 分仍不重叠，一直下去好像永远不重叠。可事实上，并非如此：我举另一个例子，有一位匈牙利伟大的数学家【注：即冯诺依曼】，一天有人问他一个问题：有两个人面对面由两端开始走，中间有一只苍蝇在飞，碰到一个人的鼻子时就往回飞，碰到另一个的鼻子就又往回飞，就这样来回飞，如果知道两人速度，那么在两个人碰到之前苍蝇飞了多远? 这跟时针问题一样，你把全部加起来就可以。这个数学家工夫了得，只花了三四秒就算出来，问的人觉得无趣，说：你以前一定听过这问题了。其实他没听过，只不过他把它加起来而已。他加的速度也真快！同样的我们也可说：分针往前，时针就往前一点点，就一直在追，无穷无尽的追，是一种逼近的过程。逼近的过程是一个辛苦的过程，因为要无穷无尽的加。但是有很多时候，逼近可以由计算器去做。伴随着计算器的出现，就有了新的数学的出现，本来笨拙的计算方法就变得很有用。计算器对近代的数学有很大的作用。接下来的例子告诉你们计算器的作用，这张图九是数学所周谋鸿先生给我的。图形的一开始有一颗很小的石头，这就像我们在河里看水流经过石头产生的流水，会有一个个不对称漩涡，这跟我们飞机尾后的气体漩涡一样。如果水流越快，漩涡图形就不一样，飞机也是一样。我们知道做实验很贵，因此用计算器来算。用计算器来算是一个逼近的过程，为什么用计算器算物理实验要逼近过程? 水流往石头旁边流产生压力，压力呢就产生力量把水往另一边压，用计算器就算出图九的下图。如果我们要做不同的飞机的实验，飞行速度不一样，翅膀形状也不一样，做风洞实验就还要做另一个翅膀，这是一个很昂贵的事情。计算器呢只要输入不同数字就可以达成，所以用计算器逼近是一件大事情。接下来我举最后一个问题是国中【注：当指初中】问题， 。如图十，就可以告诉你为什么这是一个非线性的问题。我们工程大部分应用是用线性去算的，例如我敲一块东西，力气越大它震动也比例的增大，是一种线性现象。但是呢，我力气一直增大到一个地步，就要断裂了，因此线性常是不好的逼近。非线性的作用是到处都有，例如气象的气压图，它今天一个样子，到了明天就完全不一样，天有不测风云。下面这个非线性例子是数学所杜宝生先生给我的，如图十一：参数 控制着 非线性的程度，当 时，不管 等于多少，把它代入 的出来的值再一直代入，最后都会趋近 1.81567。把 代入，得到 ，这意味着它是的不动点（事实上还是唯一的）; 当 时，则 时， 代入两次会等于 ，所以它有一个周期2。如果我们再增强非线性，，图十二告诉我们运算结果，
从图十二知道，它会在四个点不停的绕，永无止境的绕，不会离开四个点。如果再增加非线性因素，例如取 ，就会有八个点绕。再继续增加的话，就有无穷多的点在绕，如图十三。它的变化已经没有规则，它是一种混乱的现象。有一个日本的数学家，他说混乱现象在浑沌里找到。有一次他在大陆演讲，学生没听过浑沌一词，还以为是指吃的东西【注：当然指馄饨了】。浑沌现象根源于所谓的蝴蝶效应，是说一只小蝴蝶翅膀动一下，附近的空气变一下，但最后可能导致极大的变动。这个是多年研究的数学结果。其实绝大多数的非线性作用，今天我们还是不能理解的。我最后做一个总结：数学难，数学的难一定要深切地去体认它。很多教数学的老师，为了安抚学生，说数学不是那么难。我一向不这么说，因为我自己觉得很难。如果能够深刻地体认数学的难，就会欣赏数学里面看起来很简单、事实上很丰厚的手法。数学难学，主要不在它本身的难，而是学得太快，没办法去深刻地体认、再克服数学的难。 就像我们欣赏一个艺术品，最重要的，就是要慢。看黄公望画水边的草，岸边的树，水的流动，虽是用很简单的笔触去画它，却是经过思考，笔笔精准的。学数学也是要慢，不能够说学数学遇到了困难，就想办法用简便的方法而忘了它本质的困难。数学本质的困难要不时的去感觉它，如此，你才会发现：数学的美就在其中。演讲: 刘太平
整理: 林桂暖
时间: 2000 年 10 月 28 日
地点: 中央研究院数学研究所
来源：数学与人工智能